Número de Thabit

En teoría de números un número de Thabit, número de Thábit ibn Qurra o número 321 es un número entero de la forma , siendo n un número entero no negativo.

Definición

Un número de Thabit está descrito por la fórmula:

,

donde n es un número entero no negativo .

Los primeros veinte números de Thabit son:[1]

2, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1.535, 3.071, 6.143, 12.287, 24.575, 49.151, 98.303, 196.607, 393.215, 786.431, y 1.572.863.

Los números de Thabit representados en forma binaria tienen una longitud de dígitos y consisten de un «10» seguido por n unos. Por ejemplo, para el número 23,

,

y en modo binario:

,

es decir, un 10 seguido de tres unos.

Los primeros diez números de Thabit que además son números primos son:[1]

2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6.143, 786.431 y 51.539.607.551.

Para abril de 2008, los valores conocidos de n con los cuales se obtiene un número de Thabit primos son:[2]

0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1.274, 3.276, 4.204, 5.134, 7.559, 12.676, 14.898, 18.123, 18.819, 25.690, 26.459, 41.628, 51.387, 71.783, 80.330, 85.687, 88.171, 97.063, 123.630, 155.930, 164.987, 234.760, 414.840, 584.995, 702.038, 727.699, 992.700, 1.201.046, 1.232.255, 2.312.734, 3.136.255 y 4.235.414.

Los primos para fueron encontrados por el proyecto de computación distribuida 321 search.[3] El mayor de éstos, , tiene 1.274.988 dígitos y fue encontrado por Dylan Bennet en abril de 2008. El récord anterior era , encontrado por Paul Underwood en marzo de 2007.

Números amigos

Cuando n y producen números de Thabit primos, y es primo también, se puede calcular un par de números amigos de la siguiente manera:

y

Por ejemplo, produce el número de Thabit 11 y produce el número de Thabit 5, por lo que el tercer término es . Usando las fórmulas anteriores se obtienen los números amigos 220 y 284. Los divisores del primero suman 284 y del segundo 220.

Los únicos valores conocidos de n para los que se satisfacen estas condiciones son 2, 4 y 7, los cuales corresponden a los números de Thabit 11, 47 y 383.

Se reconoce al matemático del siglo IX Thábit ibn Qurra como el primero en estudiar estos números y su relación con los números amigos.

Véase también

Referencias

Notas

  1. Obtenidos a través de la secuencia A055010, On-line Encyclopedia of Integer Sequences, Henry Bottomley (2000)
  2. Caldwell, Chris. «The Largest Known Primes!: 3 . 224235414 - 1» (en inglés). The Prime Pages. Universidad de Tennessee. http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=84769. Consultado el 16 de agosto de 2010.
  3. 321 Search (2006), status of the search.html «The status of the search». Consultado el 16 de agosto de 2010 (en inglés).

Enlaces externos

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